INTRODUÇÃO
Como sabemos, o Cálculo Diferencial e Integral, especificamente o conteúdo de derivadas, tem várias aplicações, tais como, determinar a taxa de crescimento: de uma determinada população, do crescimento
econômico do país, da redução da mortalidade infantil, entre outras. Além disso,o ensino de Cálculo está relacionado a diversas áreas do conhecimento como Física, Engenharias e também Química. Assim, utilizaremos os conceitos de Cálculo para compreender o estudo dos Gases.
lei dos Gases como funções
O termo função é utilizado para designar a dependência de uma quantidade em relação à outra, podendo ser representada com tabelas, gráficos, formulas ou descrição verbal.
Matematicamente, uma função é uma regra que associa uma única saída a cada entrada.
Por exemplo, sabe- se que o volume e a pressão são grandezas
inversamente proporcionais. Podemos expressar essa relação, conhecida como Lei de Boyle, assim: V x P= K.
Escrevendo V= K x 1 ,
P
reconhecemos V como uma função de P, ou V= f(P).
Do mesmo modo, uma função V= f(T) mostra genericamente a relação entre volume e temperatura (Lei Gay Lussac). Sabe-se que temperatura e volume são diretamente proporcionais, o que é representado por V= K x T .
Por fim, a função P= f(T) = K x T mostra, genericamente, a relação entre pressão e temperatura (Lei de Charles), m ostrando que as grandezas temperatura e pressão são diretamente proporcionais.
Interpretação da derivada aplicada à química: Lei dos gases
O conceito de derivada está intimamente relacionado à taxa de variação instantânea de uma
função, tal que y=f(x) representa a taxa de variação instantânea de y em relação a x.
Um exemplo típico é a função velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a derivada da função velocidade, ou seja, uma derivada de segunda ordem.
Logo, a derivada aplicada à química no conceito de lei dos gases, nos permite conhecer o valor numérico da derivada e não somente a fórmula analítica.
Assim, vamos considerar como ponto de partida a equação de estado para gases ideais,
PV=nRT ou PVm= RT tal que Vm=V
n
A partir destas equações é possível dizer que qualquer uma das variáveis depende das outras duas e poderíamos escrever toda variável como sendo uma função de duas variáveis (Derivada parcial). Por exemplo,
P = P(Vm, T) = (RT/Vm)
Vm = Vm(P, T) = (RT/P)
T = T(Vm, P) = (PVm/R)
Desta maneira, o uso de Cálculo Diferencial permite saber a maneira como uma variável
dependente varia quando as variáveis independentes são
alteradas.
Temperatura
Pressão
Volume
Lei dos Gases
Primeira Lei:
A lei de Boyle basicamente descreve o comportamento de um gás ideal apenas quando sua temperatura é mantida constante (chamada de isotérmica).
Segunda Lei:
A lei de Gay Lussac basicamente descreve o comportamento de um gás ideal apenas quando sua pressão é mantida constante (chamada de isobárica).
Terceira Lei:
A lei de Charles basicamente descreve o comportamento de um gás ideal apenas quando seu volume é mantido constante (chamada de isovolumétrica)
Conceito de Integral na Química
Trabalho realizado por um gás - Integral Definida
Consideremos um gás ideal contido num cilindro com pistão como mostrado na figura ao lado mediante a movimentação de êmbolo, é possível comprimir ou expandir tal gás e neste processo haverá variação de pressão e temperatura já que estas variáveis estão vinculadas pela equação do gás ideal (PV = nRT).
Imaginemos que a pressão P do gás é maior que a pressão atmosférica.
Neste caso, a tendência do gás é empurrar o pistão para fora do cilindro. Se o pistão desloca-se lentamente uma distância dx, o trabalho realizado pelo gás será:
∆W = Fdx = P Adx = PdV
onde A é a área do pistão expansão e dV = Adx corresponde à variação de volume durante a expansão.
Assim, se imaginarmos o gás expandindo-se de um volume V1 até um volume V2, o trabalho total realizado é:
Se acompanharmos a evolução da pressão com volume num diagrama PV, como na figura ao lado, o trabalho realizado pelo gás será a área sobre a curva.
Esta área depende de como o gás é levado do ponto 1 ao ponto 2.
